幾何10大好處

但古典微分幾何討論的對象必須事先嵌入到歐氏空間裏，才定義各種幾何概念等等（比如切線、曲率）。 一個幾何概念如果和幾何物體所處的空間位置無關，而只和其本身的性態相關，我們就説它是內藴的。 用物理的語言來説，就是幾何性質必須和參考系選取無關。 許多文化中都有幾何學的發展，包括許多有關長度、面積及體積的知識，在西元前六世紀泰勒斯的時代，西方世界開始將幾何學視為數學的一部份。

拉塞福的名言剛好應該倒過來說：定量是差勁的定性描述。 因為，能幫助我們了解並描述自然的數學性質種類繁多，數字只不過是其中一種。 我們若想將所有的自由度都擠進局限的數值體系，就絕對無法了解樹木的生長或沙丘的形成。 它們不是自然律的深層單純性帶來的直接結果，那些自然律在這個層級並不適用。 它們無疑是從自然界的深層單純性間接衍生而來，但由於因果之間的路徑太過複雜，以致沒有人能夠追尋每一步足跡。 花瓣的數目是所有原基進行複雜交互作用的結果，但是藉著黃金角，這些作用卻剛好導致各種費布納西數。

幾何: 空間名

九點圓定理：三角形三邊的中點、三高的垂足和三個歐拉點（連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點）九點共圓。 通常稱這個圓為九點圓（nine-point circle），或歐拉圓、費爾巴哈圓。 卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。 關於西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關於該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。 第二，獨立性，公理體系中的每條公理應該是各自獨立而互不依附的，沒有一條公理是可以從其它公理引申出來的。 芳贺和夫被认为是折纸几何的开创者，不仅提出了Origamics这一学科领域，还在1992年第三次折纸年会上，用自己的名字命名了芳贺第三定理。

它們不像運動定律導出行星橢圓軌道那樣，能直接從簡單的定律導出簡單的模式。 相反的，它們貫穿枝葉茂密的複雜性巨樹，最後在適當的尺度下，才終於陷縮成相當簡單的模式。 我將第二個夢想稱為「形態數學」（morphomatics），它並不是一種科技，而是思考方式。 就創造性而言，形態數學具有極為重大的意義。 但我卻不知道它是否真會出現，甚至不知道是否有此可能。

幾何: 空間基礎

西元前三世紀，幾何學中加入歐幾里德的公理，產生的歐幾里得幾何是往後幾個世紀的幾何學標準。 阿基米德發展了計算面積及體積的方法，許多都用到積分的概念。 天文學中有關恆星和行星在天球上的相對位置，以及其相對運動的關係，都是後續一千五百年中探討的主題。 幾何和天文都列在西方博雅教育中的四術中，是中古世紀西方大學教授的內容之一。

例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐台（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。 愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。 科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。 同時數學家們也注意到了這個公設既是對平行概念的論述(故稱之為平行公理)也是對三角形內角和的論述(即內角和公理)。 高斯對這一點是非常明白的，他認為歐幾里德幾何是物質空間的幾何，1799年他說給他的朋友的一封信中表現了他相信平行公理不能從其他的公設中推導出來，他開始認真從事開發一個新的能夠套用的幾何。 1813年，發展了他的幾何，最初稱為反歐氏幾何，後稱星空幾何，最後稱非歐幾何。

幾何: 几何拓扑学

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。 牛頓古典力學中，質量分布是重力場 (位能) 幾何 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個 (也必須是二階) 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。 黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

• 於是愛因斯坦把它納入方程式，於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表，並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。
• 关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。
• 我將第二個夢想稱為「形態數學」（morphomatics），它並不是一種科技，而是思考方式。
• 我們額外得到了一個結論：正六邊形的每個角必為正三角形各角的兩倍，也就是1/3。
• 但古典微分几何讨论的对象必须事先嵌入到欧氏空间里，才定义各种几何概念等等（比如切线、曲率）。

在网购变得如此方便的今天，网上买个沙发啥的根本不是新鲜事。 几何学的前世今生 造化爱几何，四力纤维能。 欧几里得在他的《几何原本》中，总结了几何学的几条公理和公设。 非欧几何学通常又被称为罗巴切夫斯基几何学，这是为了纪念它伟大的创始人罗巴切夫斯基。 的确，他们的名字本身就是几何学发展的写照。 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。

幾何: 黎曼幾何裡的寶藏

數學與自然形態有密切關聯的想法源自湯普生，事實上，還可以遠溯到古希臘人，甚至巴比倫人。 然而，直到最近這些年，我們才開始發展堪稱適當的數學。 幾何 舉例來說，DNA常被視為生物體形態與模式的唯一解答，然而當今的生物發育理論，卻不足以解釋為何有機與無機世界分享了那麼多的數學模式。 或許，DNA是將動力學規則編入了密碼，而非僅僅控制發育完成的模式。 假如真是這樣，當今理論顯然忽視了發育過程的許多關鍵步驟。

值譜量子力學是一門以高精確度描述大自然的學科。 值譜的概念是數學家在 19 世紀發展出的, 事實上可回溯至古希臘哲學家。 撥動端點固定的弦時, 可實際產生這些基音。 我相信高斯很想將自己的定理置於一個自然的框架, 好讓他的定理能以自然的方式出現。 因此, 當黎曼為博士論文口試提出三個不同的主題時, 高斯選擇了「幾何學的基礎」這個題目。 在黎曼引入這些概念之前, 有一些重要的發展, 其中之首要者, 是等效原理的概念。

幾何: 幾何資訊成立於

直到最近為止，科學研究的自然途徑都是順著複雜性這棵大樹，不斷向下挖掘。 幾何 這就是寇恩與我所謂的「化約論者（reductionist）的噩夢」。 沿著這條傳統路徑，我們學到很多關於大自然的知識，尤其是如何操控大自然為我們服務的知識。 在第七章中，我們探討了第三點：運動，發現它牽涉到生理學與神經學的複雜現象，包括骨骼、肌肉、神經與腦部。

隨著抽象思維的進展，幾何變得更多地關於分析和推理。 幾何 在整個高中期間，重點分析二維和三維形狀的屬性，推理幾何關係以及使用坐標系。 幾何 學習幾何提供了許多基礎技能，有助於培養邏輯思維能力，演繹推理，分析推理和問題解決 。

幾何: Q10. 幾何牆面的施工與一般單色油漆牆有何不同？

在一般圖上, 有一個自然定義的算子, 作用於定義在頂點上的函數空間, 擔當的角色類似於平滑流形上的 Laplace 算子。 該算子的值譜不難計算, 但它揭露了圖的大量訊息。 圖論中有個概念類似於定義在流形上的 Green 函數, 出現在 Larry Page 的公式中, 用於 Google 搜索引擎。

規範理論、 額外維度理論、 Calabi-Yau 空間創建廣義相對論之後, 愛因斯坦企圖統一大自然的多種力, 這個宏願引發了諸多發展。 再談黎曼黎曼創建的, 實際上是一種包含等效原理概念的幾何學。 他的空間不依賴單一的直角坐標, 也更加動態。 為了充分理解等價原理的概念, 黎曼發展了張量的基本工具, 特別是黎曼曲率張量。 更重要的是, 畢達哥拉斯的某門徒發現： 若直角三角形的兩個直角邊的長度都等於 1, 則斜邊的長度不能寫成兩個整數的比。

幾何: 幾何中國

它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。 暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。 常见定理有勾股定理，欧拉定理，斯图尔特定理等。 幾何中更高級的概念包括柏拉圖立體 ， 坐標網格 ， 弧度 ， 圓錐曲線和三角 。 研究三角形或單位圓中角度的角度構成了三角學的基礎。 平面幾何學研究像線條，圓形和三角形的平面形狀，幾乎可以在一張紙上繪製任何形狀。

呢套幾何理論框架可以話係根本噉改變咗世人對幾何學嘅諗法，挑戰咗當時嘅好多根本假設－睇返上面講到，非歐幾何挑戰咗歐幾里得嗰幾條個個都覺得係啱嘅公理。 想像有件物體經歷咗反射，佢反射前個形狀反射後嘅形狀完全一樣（除咗位置之外），噉件物體就算係具有鏡射嘅對稱特性。 進階啲嘅對稱分析，仲有講到轉動對稱（rotational symmetry；指件物體就算經歷若干角度嘅轉動都唔會變樣，例子可以睇吓三曲腿圖嘅 3-重轉動對稱）等嘅進階對稱類型。

幾何: 幾何三大問題

三位得獎者因為他們關於宇宙最殊勝現象之一, 黑洞, 的發現而分享 2020 年的諾貝爾物理獎。 Roger Penrose 在 1965 年初關於愛因斯坦方程奇異解的物理中演繹了黑洞的形成並描述其細節, 他證明了黑洞的形成是愛因斯坦廣義相對論的直接結果。 Reinhard Genzel 和 Andrea Ghez 發現在我們銀河系中心一個不可見且極重的物體控制著附近星體運行的軌跡, 而極重黑洞是目前唯一已知的解釋。 同學需要透過學習及運用不同的 幾何定理 (如「直線上的鄰角總和為180度」、「等腰三角形的底角相等」等)來解答幾何問題(一般係叫你計算某角的大小)。 歐幾里得《幾何原本》的誕生在幾何學發展的歷史中具有重要意義。

幾何: 幾何平均數

事實上，混沌現象遲至今日才被發現的原因之一，就是我們這個世界在許多方面仍舊相當單純。 當我們向深層探索時，這種單純性通常就會消失，可是在事物的表面它依然存在。 比如說，湯普生注意到，有多種生物體的形狀與流體的形態極為相似，可是如果想要模擬生物體，當今的流體力學使用的方程式卻嫌簡單得過分。

幾何學可見的特性讓它比代數、數論等數學領域更容易讓人接觸，不過一些幾何語言已經和原來傳統的、歐幾里得幾何下的定義越差越遠，例如碎形幾何及解析幾何等。 愛因斯坦於該年 11 月，發表了完整的重力方程式。 由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式，對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰，也引起了許多討論。 但可以確定的是，希爾伯特在數學上提供的協助，是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。 ：我們在兒童房常用圓弧形元素，去做牆面的裝飾；如果家中成員是屬於青少年和成年居多，或是兒童房以外的其他室內空間，則會用俐落的圖形妝點。 ：差不多三年前，我們開始因應客戶想要居家色彩有變化，所以在預算有限的情況下，一反過去在櫃體建材上求異同，改用乳膠漆的方式做幾何牆面的嘗試，結果越來越多屋主願意使用此元素。

還有，假如沒有精妙的數學控制系統，太空梭就會在空中橫衝直撞，因為任何太空人絕對沒有足夠迅速的反應，可矯正它固有的不穩定性。 至於使用電子式心律調節器幫助心臟病患者，則是控制的另一項實例。 先做出發現（不管用哪種方法做出來都行，包括紙、繩子、橡皮筋之類的實體模型），然後盡可能以最簡單優雅的方式去解釋。

幾何: 基本公理

朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關於這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。 關於西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其餘一點的關於該三角形的西摩松線，這些西摩松線交於一點。 幾何 中國清代數學家、天文學家、力學家、植物學家。 清嘉慶十五年十二月二十八日（1811年1月22日）生；光緒八年十月二十九日（1882年12月9日）卒於北京。 自幼喜好數學，後以諸生應試杭州，得元代著名數學家李冶撰《測圓海鏡》，據以鑽研，造詣日深。 道光間，陸續撰成《四元解》、《麟德術解》、《弧矢啓秘》、《萬圓闡幽》及《對數探源》等，聲名大起。

幾何: 1          直線上的角

历史上最早明确提出尺规限制的是伊诺皮迪斯，以后逐渐成为一种公约，最后总结在欧几里得的《几何原本》之中。 从代数的角度看，几何学从传统的解析几何发展成了更一般的一门理论——代数几何。 传统代数几何就是研究多项式方程组的零点集合作为几何物体所具有的几何结构和性质——这种几何体叫做代数簇。 解析几何所研究的直线、圆锥曲线、球面、锥面等等都是其中的特例。

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